AMM에 블랙-숰즈 공식이 등장했다 \u2014 2022년 8월 금융 AI 연구 리뷰

왜 이 연구들이 흥미로운가? 유명한 유니스왑(Uniswap) 같은 탈중앙 거래소에서 "유동성 공급자로 참여하면 수수료를 번다"고들 합니다. 그런데 실제로는 손해를 보는 경우가 많았고, 그 이유를 수학적으로 정확하게 설명한 논문이 이 달에 나왔습니다. 마치 옵션 가격에 블랙-숰즈 공식이 있었듯, AMM에도 그에 버금가는 공식이 생긴 거죠.

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들어가며: 은행에 돈을 맡겼는데 이자보다 빠져나가는 돈이 더 많다면?

은행에 예금을 하면 이자를 받습니다. 그런데 만약 "이자를 받는 대신, 은행이 내 돈으로 투자해서 번 차익의 일부를 나눠 준다"는 상품이 있다고 상상해 보세요. 처음에는 꽤 수익이 나옵니다. 하지만 시간이 지나면 이상하게도 원금보다 줄어들어 있는 겁니다. 이유인즉, 은행이 투자할 때 항상 시장보다 조금 늦게 움직이기 때문에, 빠른 정보를 가진 사람들이 그 틈새를 이용해 이익을 가져가기 때문입니다.

이것이 바로 이더리움 블록체인 위의 탈중앙 거래소(AMM)에서 유동성 공급자(LP)에게 실제로 일어나는 일입니다. 2022년 8월, 이 "정보 우위자에게 빼앗기는 비용"을 LVR(Loss-Versus-Rebalancing)이라는 이름으로 분리하고, 블랙-숰즈 공식에 버금가는 폐형식으로 정량화한 연구가 발표되었습니다.

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무엇이 문제였나: AMM 유동성 공급자의 수수료 수수께끼

전통적인 주식시장에서는 시장 조성자(market maker)가 매수\u00B7매도 호가를 동시에 제시하고 그 스프레드(가격 차이)로 수익을 냅니다. 이들은 매우 빠른 정보 처리 능력과 복잡한 알고리즘으로 위험을 관리합니다.

블록체인 위의 AMM은 이 역할을 코드로 대체합니다. 유니스왑 같은 AMM은 "상수곱(constant product)" 공식 \u2014 x × y = k \u2014 에 따라 자동으로 가격을 결정합니다. 누구나 유동성을 넣어 LP가 될 수 있고, 거래가 발생할 때마다 수수료를 받습니다.

문제는 이겁니다: AMM의 가격은 중앙거래소(CEX)보다 항상 조금 늦습니다. 블록체인 특성상 가격 업데이트가 즉시 불가능하기 때문이죠. 이 시간차를 이용해 차익거래자(arbitrageur)가 AMM에서 싸게 사고 CEX에서 비싸게 팔면, 그 차익은 고스란히 LP의 손실이 됩니다.

그런데 기존에는 이 손실이 "수수료로 벌었다"는 것과 섞여 있어서, LP가 실제로 순수익을 내고 있는지, 아니면 수수료를 받는 척하면서 돈을 잃고 있는지 구분하기 어려웠습니다.

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핵심 아이디어: "리밸런싱 전략"과의 비교로 역선택 비용을 분리하다

이 논문의 핵심 아이디어는 놀랍도록 직관적입니다.

리밸런싱 전략(rebalancing strategy)이라는 가상의 포트폴리오를 만드는 겁니다. 이 포트폴리오는 AMM과 똑같은 비율로 자산을 보유하되, 거래는 AMM이 아니라 중앙거래소의 시장 가격으로 합니다. 즉, AMM LP와 같은 자산 구성을 가지면서 "가격 지연"이라는 불이익은 없는 포지션입니다.

이 두 포지션의 차이, 즉 리밸런싱 전략의 가치 - AMM LP의 가치 = LVR이 바로 역선택 비용입니다.

이 차이를 수학으로 풀면, 로컬 평활 AMM에서 순간 LVR은 이렇게 됩니다:

ℓ(σ, P) = (σ² × P² / 2) × |x'(P)|

쉽게 말하면:

• σ² (변동성의 제곱): 시장이 출렁일수록 가격 지연의 비용이 커집니다. 변동성이 2배가 되면 LVR은 4배가 됩니다.
• P² (가격의 제곱): 자산 가격이 높을수록같은 가격 차이가더 큰 손실로 이어집니다.
• |x'(P)| (한계 유동성): AMM이 얼마나 "크게" 거래하는지를 나타냅니다. 유동성이 클수록 차익거래자가 더 많은 이익을 가져갈 수 있습니다.

AMM 유형별 LVR \u2014 유니스왑 v2, v3, 발란서

이 공식을 구체적인 AMM에 적용하면:

유니스왑 v3의 경우가 특히 흥미롭습니다. v3는 LP가 특정 가격 범위에만 유동성을 집중할 수 있게 해서 수수료 효율을 높였습니다. 하지만 이 논문은 집중 유동성이 LVR도 함께 집중시킨다는 걸 보여줍니다. 좁은 범위에 유동성을 모을수록, 가격이 그 범위를 벗어날 때 차익거래자에게 빼앗기는 금액이 달러당 더 커진다는 뜻입니다.

실증 검증: 실제 데이터와 모델이 맞아떨어지다

연구팀은 유니스왑 v2의 WETH-USDC 풀(2021년 8월~2022년 7월) 데이터로 모델을 검증했습니다.

핵심 발견:

1. 델타헤지 LP의 수익률 표준편차가 비헤지 대비 약 1/20으로 감소 \u2014 LP 수익의 본질이 시장 방향이 아니라 역선택 비용에 있다는 증거
2. 모델이 예측한 LVR이 실측 델타헤지 수익률과 정량적으로 일치
3. 델타헤지 LP의 Sharpe 비율은 리밸런싱 빈도에 따라 1.75~23.33 범위

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결과 \u2014 무엇을 알아냈나

이 연구가 밝혀낸 것을 정리하면:

첫째, AMM LP의 핵심 비용은 "시장이 떨어져서 손해"가 아니라 "가격이 느려서 정보 우위자에게 빼앗기는 것"입니다. 이 비용은 변동성의 제곱에 비례하므로, 변동성이 높은 시기에는 수수료 수익을 훨씬 초과할 수 있습니다.

둘째, 이 비용은 폐형식으로 계산 가능합니다. 블랙-숰즈 공식이 옵션 가격을 "알고 나면 간단한" 공식으로 정리했듯, LVR 공식도 AMM의 역선택 비용을 "알고 나면 간단한" 공식으로 정리합니다.

셋째, AMM 프로토콜을 LVR을 줄이는 방향으로 재설계할 수 있습니다. 예를 들어, 차익거래자가 AMM 가격을 업데이트할 때 일정 수수료를 부과하거나, 가격 오라클을 활용해 지연을 줄이는 등의 방법이 가능합니다.

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한계와 주의점

모든 모델에는 가정이 있고, 이 논문도 예외가 아外입니다:

• CEX가 무한히 깊다고 가정합니다. 실제로는 CEX에도 유동성 한계가 있어, 대규모 차익거래 시 양쪽 모두 가격 충격을 받을 수 있습니다.
• 차익거래자가 수수료를 내지 않는다고 가정합니다. 실제로는 가스비(블록체인 거래 수수료)가 존재해, LVR이 가스비보다 작으면 차익거래가 일어나지 않습니다.
• LP가 수동적이라고 가정합니다. 실제로는 능동적으로 유동성을 추가\u00B7제거하는 LP도 있으며, 이 경우 분석이 더 복잡해집니다.

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그래서 투자/실무엔?

이 연구는 주로 암호자산 DeFi 영역에 직접 적용 가능합니다:

• AMM 풀 선택: 변동성이 낮은 자산 페어(예: 스테이블코인 페어)가 LVR이 낮아 LP 수익성이 높을 가능성이 높습니다.
• 집중 유동성 범위 설정: 유니스왑 v3에서 범위를 너무 좁히면 LVR이 급증하므로, 수수료 효율과 역선택 비용 사이의 균형점을 정량적으로 찾을 수 있습니다.
• 헤지 전략: LP 포지션에 대한 델타헤지를 통해 방향성 위험을 제거하면, 순수한 유동성 공급의 경제성을 평가할 수 있습니다.

더 넓게 보면, "가격 지연으로 인한 정보 비용"이라는 개념은 전통 금융의 시장 조성에도 적용됩니다. 고빈도 트레이딩에서 시장 조성자가 직면하는 역선택 문제와 구조적으로 동일하기 때문입니다.

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더 알아보기

이 달의 핵심 논문:

• Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing \u2014 A티어, composite 71.4
  • 5차원 점수: N84 / A76 / R82 / Rp42 / I88
• Risk-Aware Linear Bandits: Theory and Applications in Smart Order Routing \u2014 A티어, composite 68.7
  • 5차원 점수: N74 / A82 / R78 / Rp42 / I72
• Sensitivity of multiperiod optimization problems in adapted Wasserstein distance \u2014 A티어, composite 67.4
  • 5차원 점수: N72 / A61 / R82 / Rp42 / I73

관련 논문 더 보기:

• G3Ms: Generalized Mean Market Makers \u2014 AMM 설계의 통합 프레임워크
• A Modular Framework for Reinforcement Learning Optimal Execution \u2014 RL 기반 최적 집행 모듈화
• A statistical test of market efficiency based on information theory \u2014 Shannon 엔트로피 기반 시장효율성 검정